FIGURAS CONICAS – descripción teórica:
(NOVENO GRADO)
Todas ellas conocidas con el nombre genérico de cónicas, se pueden obtener como intersección de un cono con un plano. Denominamos Cónica a la curva obtenida al cortar ese cono con un plano. Las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
1.- Circunferencia: Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.
Ecuación analítica de la circunferencia: si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (p, q) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – p)2 + (y – q)2. La solución se busca, completando los cuadrados del trinomio cuadrado perfecto que me dará las coordenadas del centro.
Ejemplo: Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0
Si completamos los cuadrados, tenemos las coordenadas del centro, la raíz del término independiente del otro lado del igual nos da el radio.
Centro de la circunferencia es (– 3, 4). Radio 6.
La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36
2.- Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Ecuación analítica de la elipse:
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:
Ejemplo: Si tenemos la ecuación 4x2 + 9y2 + 24x – 8y + 81 = 0
Los lados rectos de la elipse son: sobre el eje x (lado mayor) = a = 3; sobre el eje y (lado menor) = b = 2. Hallemos en centro (p, q) completando los cuadrados en la ecuación original.
El centro es, entonces, (p, q) = (– 3, 3).
La ecuación de la elipse queda:
El lado recto mayor será 3 (en este caso bajo x) y el lado recto menor (en este ejemplo bajo y) 2. En el caso contrario, donde se inviertan el lado menor y el lado mejor, en x y en y, la elipse abrirá estirada en y.
3.- Hipérbola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola .
Ecuación analítica de la hipérbola:
Si la hipérbola estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:
Al igual que las otras cónicas la ecuación se encuentra completando los cuadrados de la ecuación original.
Si la cónica abre verticalmente a se encontrará bajo “y” y b bajo “x”.
Asíntotas: son rectas que jamás cortan a la hipérbola, aunque se acercan lo más posible a ella sin tocarla. Ambas deben pasar por el "centro" (p, q)
Las asíntotas forman un rectángulo central de lados 2 b y 2 a, con 2 b perpendicular a la apertura de la hipérbola y 2 a paralelo.
4.- Parábola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz .
Ecuación analítica de la parábola:
x2 = 4cy
Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p, q) entonces la ecuación sería: (x – p)2 = 4c(y – q)
En el caso en que abra hacía abajo, 4c será negativo.
Igual ocurre si abre horizontalmente en cuyo caso y estaría elevado al cuadrado en lugar de x.
(p, q) serán entonces las coordenadas del vértice de la parábola y la directriz (trazada en azul en la figura), al igual que el foco, se encuentra a una distancia c de este.
La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones reales: Veamos un ejemplo real:
- La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas dice que éstos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la gravitación universal de no haber conocido ampliamente la geometría de las elipses.
- La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así, la línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola.
- Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la distancia del punto al centro de la Tierra. En realidad la curva que describe el móvil (si se ignora el rozamiento del aire) es una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra.